如果私立学校的老师被裁员，赔偿方式和标准通常取决于多种因素，包括劳动合同的约定、工作年限、裁员的原因等。一般来说，如果是合法裁员，学校应当按照以下方式进行赔偿：
1. 经济补偿：根据老师在本单位的工作年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。这里的月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。
2. 未提前通知的代通知金：如果学校没有提前三十日以书面形式通知老师本人或者额外支付老师一个月工资后解除劳动合同，需要支付代通知金。
3. 结清工资：应当在解除劳动合同时，一次性结清老师的工资。
《中华人民共和国劳动合同法》对于用人单位解除劳动合同的情形和经济补偿有明确的规定。合法的裁员需要符合法定的条件和程序，否则可能构成违法解除劳动合同。在这种情况下，老师有权要求学校支付赔偿金，赔偿金的标准是经济补偿标准的二倍。此外，如果双方对于裁员的合法性、赔偿的标准等存在争议，可以通过劳动仲裁、诉讼等法律途径来解决。老师在面临裁员时，应注意保存好与工作相关的证据，如劳动合同、工资条、工作记录等，以便维护自己的合法权益。
