如果发现购买的化妆品发霉，您可以采取以下步骤来争取赔偿：
1. 保留证据：立即保存好发霉的化妆品、购买凭证（如发票、小票）、包装等相关物品和资料。
2. 与销售者或生产者联系：向购买化妆品的商家反映情况，或者直接联系化妆品的生产厂家，说明化妆品发霉的问题。
3. 提出赔偿要求：根据具体情况，您可以要求退款、换货、赔偿损失等。赔偿损失可能包括因使用该化妆品导致的健康损害治疗费用、误工费等。
4. 协商解决：与商家或厂家进行协商，争取达成双方都能接受的赔偿方案。
5. 投诉举报：如果协商不成，可以向消费者协会投诉，或者向相关的市场监管部门举报，要求其介入处理。
根据《中华人民共和国消费者权益保护法》的相关规定，消费者在购买、使用商品和接受服务时享有人身、财产安全不受损害的权利。消费者有权要求经营者提供的商品和服务，符合保障人身、财产安全的要求。
如果消费者购买到的化妆品存在质量问题，如发霉，经营者应当承担相应的民事责任。消费者可以依照国家规定、当事人约定退货，或者要求经营者履行更换、修理等义务。如果造成消费者财产损害的，应当依照法律规定或者当事人约定承担修理、重作、更换、退货、补足商品数量、退还货款和服务费用或者赔偿损失等民事责任。
此外，如果因化妆品质量问题导致消费者身体健康受到损害，消费者还可以依据《中华人民共和国民法典》的相关规定，要求生产者或者销售者承担侵权责任，赔偿医疗费、护理费、交通费、营养费、住院伙食补助费等为治疗和康复支出的合理费用，以及因误工减少的收入等。
