如果美容院在为狗狗提供服务的过程中弄伤了狗狗，您可以采取以下方式要求赔偿：
尽快带狗狗去正规的宠物医院进行治疗，并保存好所有的医疗费用发票和诊断证明。
与美容院进行沟通，明确指出他们的失误导致狗狗受伤，要求其承担相应的责任，包括医疗费用、后续可能的康复费用、狗狗因受伤而遭受的痛苦和精神损失等。
如果美容院拒绝赔偿或者双方无法就赔偿金额达成一致，您可以向消费者协会投诉，或者寻求当地宠物行业协会的帮助和调解。
若调解无果，您还可以考虑通过法律途径来维护自己的权益，向法院提起诉讼。
在这种情况下，美容院与您之间构成了服务合同关系。美容院有义务按照合理的方式和标准为您的狗狗提供服务，如果因为他们的过错导致狗狗受伤，就违反了合同约定，应当承担违约责任。同时，根据《民法典》的相关规定，侵害他人财产权益的，应当承担侵权责任。您作为狗狗的主人，有权要求美容院赔偿因他们的过错行为给您造成的损失。损失包括狗狗的治疗费用、康复费用等直接经济损失，以及因狗狗受伤给您带来的精神损害等间接损失。在诉讼过程中，您需要提供充分的证据，如受伤的照片、医疗记录、费用发票、与美容院的沟通记录等，以证明美容院的过错以及您所遭受的损失。
