监事是公司治理结构中的一个重要角色，负责对公司的财务、经营等方面进行监督和检查，保障公司的正常运营和股东的利益。但是，如果监事在履行职责的过程中违法犯罪，就会面临法律刑事责任。那么，监事承担什么法律刑事责任呢？
首先，监事如果泄露公司的商业秘密，侵犯公司的知识产权，就可能会被追究刑事责任。根据《中华人民共和国刑法》相关规定，盗窃、侵占、非法出售或者披露商业秘密的，将被处以刑事拘留或者有期徒刑，并处罚金。因此，监事在履行职责的过程中，必须严格保守公司的商业秘密，不能泄露或者利用商业秘密谋取私利。
其次，如果监事在公司治理中存在贪污受贿、挪用公款等行为，也将面临刑事责任。根据《中华人民共和国刑法》相关规定，贪污受贿、挪用公款等行为，将被处以有期徒刑、无期徒刑甚至死刑，并处罚金。因此，监事在履行职责的过程中，必须始终坚持廉洁自律，不能利用职务之便谋取私利。
最后，如果监事在公司治理中存在其他违法犯罪行为，也将面临刑事责任。因此，监事在履行职责的过程中，必须始终遵守法律法规，维护公司的合法权益和股东的利益。
综上所述，监事在履行职责的过程中，必须始终遵守法律法规，保守公司的商业秘密，始终坚持廉洁自律，不能利用职务之便谋取私利，否则将面临法律刑事责任。
法律依据：《中华人民共和国刑法》
